Bài toán số 2 năm 1977 của tác giả Phan Đức Chính

"In a finite sequence of real numbers,the sum of any seven successive terms is negative,and the sum of any eleven successive terms is positive. Determine the maximum number of terms in the sequence".

Bản dịch:

Cho một dãy hữu hạn các số thực,tổng của 7 số hạng liên tiếp luôn là số âm và tổng của 11 số hạng liên tiếp bất kỳ luôn là số dương. Xác định số lượng số hãng tối đa của dãy số để thỏa mãn điều kiện đã cho.

* PGS.TS Phan Đức Chính là một trong những giáo viên đầu tiên của lớp chuyên Toán A0,trường Đại học Tổng hợp (nay là lớp chuyên Toán,trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội). Ông đã tham gia đào tạo nhiều học sinh giỏi được huy chương Toán quốc tế,từng là phó đoàn,trưởng đoàn Việt Nam tham dự IMO. Ông cũng viết,dịch nhiều giáo trình Toán học kinh điển ở Việt Nam.

Bài toán số 6 năm 1982 của tác giả Văn Như Cương

"Let S be a square with side length 100. Let L be a path within S which is composed of line segments A0A1,A1A2,A2A3...,A(n-1)An with A0 ≠ An.

Suppose that for every point P on the boundary of S there is a point of L at a distance from P no greater than 1/2.

Prove that there are two points X and Y of L such that the distance between X and Y is not greater than 1 and the length of the part of L which lies between X and Y is not smaller than 198".

Bản dịch:

Cho hình vuông S có độ dài cạnh là 100. L là một đường gấp khúc không tự cắt tạo thành từ các đoạn thẳng A0A1,A1A2...,A(n-1)An với A0 ≠ An.

Giả sử với mỗi điểm P nằm trên chu vi của S đều tồn tại một điểm thuộc L cách P không quá 1/2.

Chứng minh rằng: Tồn tại hai điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách giữa X và Y không vượt quá 1,và độ dài đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198.

* PGS.TS Văn Như Cương là người sáng lập trường THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội). Ngoài giảng dạy,ông Cương viết sách,dịch sách. Năm 1975,ông đã dịch cuốn "Đối thoại về toán học"; năm 1987 cùng GS Hoàng Xuân Sính,Đoàn Quỳnh biên soạn cuốn "Đại số tuyến tính và hình học". Ông cũng chủ biên hơn 60 đầu sách sách giáo khoa,sách tham khảo phổ thông và giáo trình đại học về chuyên ngành hình học.

Bài toán số 4 năm 1987 của tác giả Nguyễn Minh Đức

"Prove that there is no function f from the set of non-negative integers into itself such that f(f(n)) = n + 1987 for every n".

Bản dịch:

Chứng minh rằng không tồn tại hàm f xác định trên tập số nguyên không âm,thỏa mãn điều kiện f(f(n)) = n + 1987 với mọi n.

* TS Nguyễn Minh Đức là cựu học sinh trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên,giành huy chương Bạc tại IMO năm 1975,là năm thứ hai Việt Nam tham gia sân chơi này.

Bài toán của PGS Phan Đức Chính trong đề thi IMO năm 1977,được Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán trình bày lại trong hội thảo hôm 10/8 . Ảnh: Thanh Hằng

Theo TS Trần Nam Dũng,Phó hiệu trưởng trường Phổ thông Năng khiếu (Đại học Quốc gia TP HCM),cựu thí sinh IMO năm 1983,ban tổ chức không bắt buộc các đơn vị tham dự gửi đề,cũng không giới hạn số lượng bài nếu tham gia.

Về quy trình,khoảng bốn tháng trước kỳ thi,trưởng đoàn của mỗi nước sẽ tập hợp các bài toán đề nghị,tác giả không nhất thiết là người trong đoàn mà chỉ cần là người của nước mình,rồi gửi ban chọn đề của nước đăng cai.

Ông Dũng cho biết thông thường,mỗi năm có hơn 100 bài toán được gửi đề nghị. Nước đăng cai kỳ thi sẽ chọn khoảng 30,đưa vào danh sách rút gọn. Trước khi kỳ thi diễn ra vài ngày,các trưởng đoàn bỏ phiếu để chọn ra 6 bài chính thức cho đề năm đó.

Việc chọn bài tuân thủ ba nguyên tắc. Thứ nhất,những bài được chọn phải đủ 4 nội dung: tổ hợp,đại số,hình học và số học; mỗi nội dung không quá hai bài. Thứ hai,mỗi ngày thi phải có ba bài ở ba mức dễ,trung bình,khó. Cuối cùng,bài được chọn phải được hội đồng đánh giá hay,mới và đủ thách thức với học sinh.

"Đề thi được trau chuốt ở bản tiếng Anh trước,rồi được dịch ra một số ngôn ngữ như Nga,Pháp,Trung Quốc. Các trưởng đoàn có thể chọn bản ngôn ngữ phù hợp,rồi dịch về tiếng mẹ đẻ cho học sinh của mình",thầy Dũng nói.

Bài toán của PGS Văn Như Cương năm 1982 là bài toán khó và độc đáo. Theo GS Trần Văn Nhung,nguyên Thứ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo,nhiều nước muốn loại ra khỏi đề nhưng giáo sư,viện sĩ người Hungary R. Alfred,Chủ tịch IMO năm đó,quyết định giữ lại và khen "rất hay".

Tuy nhiên,bài toán trong đề thi chính thức đã được sửa điều kiện,được cho là khiến nó trở nên dễ hơn. Các dữ liệu đậm tính văn thơ với "ngôi làng","dòng sông" trong đề gốc cũng được chỉnh sửa thành ngôn ngữ đậm chất toán học hơn (Xem bài gốc).

Năm đó,chỉ 20 thí sinh của kỳ thi giải được bài toán này,trong đó có Lê Tự Quốc Thắng của Việt Nam - người đoạt huy chương vàng với số điểm 42/42. Việt Nam xếp thứ 5 trong 30 đoàn tham dự.

Tại hội thảo của Viện nghiên cứu cao cấp về Toán nhân dịp kỷ niệm 50 năm IMO hôm 10/8,GS Ngô Bảo Châu cũng đánh giá "Bài toán của thầy Văn Như Cương là một trong những bài hay và thú vị nhất lịch sử IMO".

IMO được tổ chức thường niên kể từ năm 1959. Việt Nam tham gia sân chơi này vào năm 1974,đến nay là tròn nửa thế kỷ.

Hiện,quy trình gửi bài và chọn bài vẫn được thực hiện như trước. Riêng năm 2020,do ảnh hưởng của Covid-19,Nga - quốc gia đăng cai - chủ động chọn đề chính thức mà không tổ chức lấy ý kiến các trưởng đoàn. Lý do là kỳ thi diễn ra trực tuyến,ban tổ chức không có biện pháp nào đảm bảo sự bảo mật của đề thi. Các trưởng đoàn được nhận đề trước lúc thi khoảng 3 tiếng,rồi dịch lại.

Thanh Hằng - Dương Tâm